Fagstoff

Avstand mellom to linjer

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Avstand mellom to linjer i rommet

Vi måler avstanden mellom to linjer m og n langs en linje som står vinkelrett på både m og n.

Bilde av to linjer Fremgangsmåten er slik:

  • Vi lar P være et punkt på m, og Q et punkt på n.
  • Vi setter opp et uttrykk for PQ.
  • Vi bruker PQ at står vinkelrett på retningsvektorene
    for 
både m og n.
  • Vi finner PQ.

Eksempel

Vi skal finne avstanden mellom to linjer i rommet gitt ved

m:x=ty=1+tx=2+2t      n:x=3+sy=sz=-2s

Vi viser fremgangsmåten med og uten bruk av CAS.

Linjen m har retningsvektor vm=1,1,2, og linjen n har retningsvektoren vn=1,1,-2.

Pt,1+t,2+2t er et vilkårlig punkt på m, og Q3+s,s,-2s er et vilkårlig punkt på n.

Vi finner først PQ

PQ=3+s-t,s-1+t,-2s-2+2t=s-t+3,s-t-1,-2s-2t-2

Utregning av vektor i CAS GeoGebra. Bilde.  

PQvmPQ·vm=0                                     PQ·vm=0s-t+3,s-t-1,-2s-2t-2·1,1,2=0            s-t+3+s-t-1-4s-4t-4=0                               -2s-6t-2=0                                 -s-3t-1=0

Utregning av vektor i CAS GeoGebra. Bilde.   

PQvnPQ·vn=0                                       PQ·vn=0s-t+3,s-t-1,-2s-2t-2·1,1,-2=0               s-t+3+s-t-1+4s+4t+4=0                                    6s+2t+6=0

Beregne vektori i CAS GeoGebra. Bilde.

Dette gir oss altså to likninger med to ukjente.
Vi løser likningssettet og finner de verdiene for s og som er slik at PQvm og PQvn.

Beregne lengde av vektor i CAS GeoGebra. Bilde.

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

PQ=s-t+3,s-t-1,-2s-2t-2=-1-0+3,-1-0-1,-2·-1-2·0-2=2,-2,0

Beregne vektori i CAS GeoGebra. Bilde.

Til slutt finner vi lengden av PQ.

PQ=22+22+02=8=22

Beregne vektorlengde i CAS GeoGebra. Bilde.  

Avstanden mellom de to linjene er 22.

Oppgaver

Generelt