Fagstoff

Avstanden fra et punkt til en rett linje

Publisert: 03.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Avstanden fra et punkt til en rett linje 

Avstand fra punkt til linje 2  

Bilde en vinkel

Med avstanden fra et punkt A til en rett linje l mener vi den korteste avstanden vi kan få fra A til et punkt på l. Denne avstanden måler vi langs normalen fra A ned på linja.

Vi skal her vise to metoder for å finne denne avstanden. Det er viktig at du lærer deg begge metodene fordi dette er generelle metoder som kan brukes på andre problemstillinger.

Metode 1

Idéen er å sette opp to ulike måter for å finne arealet av en trekant.

Trekant med høyde. Bilde.  Gitt punktene A4,0,2, B3,5,1 og C0,7,2.

Avstanden fra C til linjen gjennom A og B er høyden i trekanten utspent av AB og AC.

Vi setter to uttrykk for arealet av trekanten lik hverandre og løser likningen med hensyn på høyden.

Vi bruker vektorproduktet og formelen A=g·h2.

AB2·h=12·AB×AC

Avstand fra et punkt til en rett linje i GeoGebra. Bilde.  

Metode 2

Bilde av en vinkel  I den andre metoden bruker vi følgende fremgangsmåte:

  • Vi finner et uttrykk for vektoren fra punktet A til et vilkårlig punkt P (x,y,z) på linjen l.
  • Vi finner deretter den verdien av parameteren som gjør at denne vektoren står vinkelrett på l. Vi bruker da at skalarproduktet AP·vl=0, der vl er en
    retningsvektor for linjen l.
  • Lengden av den vektoren vi da får, er avstanden fra
 A til l.

Eksempel

Gitt en linje på parameterform

x=4-t    y=0+5t    z=2-t

Finn avstanden fra punktet A (0,7,2) til et punkt P på linjen.

Vi finner først AP
AP=4-t-0,0+5t-7,2-t-2=4-t,5t-7,-t

AP skal stå vinkelrett på retningsvektoren til linjen, som er v=-1,5,-1.


APvAP·v=0          4-t,5t-7,-t·-1,5,-1=04-t·-1+5t-7·5+-t·-1=0                       -4+t+25t-35+t=0                                                                      27t=39                                             t=139t=139 gir AP=4-139,5·139-7,-139=239,29,-139AP=2392+292+-1392=70292=78·992=783Avstanden fra punktet A til linjen l er 783.

Utregning av lengde i GeoGebra. Bilde.  

Oppgaver

Generelt