Fagstoff

Retningsvektor og punkt på linje

Publisert: 03.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Parameterfremstilling for en rett linje 2

Når en linje er gitt på parameterform, ønsker vi ofte å finne et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen.

Vi kan finne et punkt på linjen gitt ved

x=3+2t    y=4+4t    z=2+8t

ved å sette t=0. Vi får da punktet 3,4,2. Tallene som står «sammen med t», danner en retningsvektor for linjen, nemlig vektoren 2,4,8.

Fra R1 husker du at fartsvektoren var den deriverte til posisjonsvektoren. v=OP'. Vi får at
v=OP'=3+2t,4+4t,2+8t'=2,4,8

Generelt er v=OP'=x0+at,y0+bt,z0+ct'=a,b,c en retningsvektor for linjen.

Et punkt på linjen kan vi, som nevnt ovenfor, finne ved å sette parameteren lik null. Vi får da punktet x0,y0,z0.

Likningsfremstilling til en linje gitt på parameterform

Bilde av linje på parameterform Eksempel

Gitt en linje m på parameterform

m:x=3+2ty=4+4tz=2+8t

Vi kan regne slik

x=3+2tt=x-32y=4+4tt=y-44z=2+8tz-28

Som gir

x-32=y-44=z-28

 

Vi får ikke en likningsfremstilling bestående av en likning. Vi får i stedet to (tre) likninger som til sammen kan betraktes som en likningsfremstilling for linjen. Det er derfor oftest hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform.

En likning i rommet som inneholder x, y og z, vil gi et plan i rommet. Vi skal se på dette senere.

Oppgaver

Generelt