Fagstoff

Logaritmer

På begynnelsen av 1600-tallet ble teleskopet oppfunnet. Det skjedde store fremskritt innenfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske beregninger førte til at matematikere, fysikere og astronomer etter hvert fikk behov for å regne med tall med mange siffer. Utregningene ble lange. Ofte ble det gjort feil undervegs. For å lette arbeidet, fant noen ut at ved å bruke regnereglene for potensregning kunne multiplikasjon reduseres til addisjon og divisjon til subtraksjon.

Eksempel

Du skal multiplisere to store tall

10 000·100 000

Fra potensregningen vet du at 10 000=104 og 100 000=105.

Du vet at potenser med samme grunntall multipliseres ved å addere eksponentene og beholde grunntallet. Multiplikasjonen blir slik

10 000·100 000=104·105=104+5=109=1000 000 000

Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentene i tierpotenser.

I 1T brukte vi logaritmer til å løse eksponentiallikninger. Vi skal nå arbeide videre med logaritmeregning.

John Napier (1550 - 1617)John Napier (1550 - 1617)Det var skotten John Napier (1550 – 1617) som begynte å regne med logaritmer. Han fant ut at alle tall kan skrives som potenser, og han begynte arbeidet med såkalte logaritmetabeller. Engelskmannen Henry Briggs (1561 – 1630) fortsatte dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntall, og i 1624 utgav han boken Arithmetica Logarithmica som blant annet inneholder en tabell med logaritmene til tall fra 1 til 20 000.

Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmer, fordi han skjønte at logaritmeregning kunne være til stor nytte når en skulle utføre til dels lange og kompliserte beregninger innenfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på landets sikkerhet og forsvar.

Når vi bruker 10 som grunntall, har vi for eksempel at 2100,3010 og 3100,4771.

En logaritmetabell for hele tall fra 1 til 10 kan se slik ut
(Briggs opererte med en nøyaktighet på 14 desimaler i sine logaritmetabeller!)

Logaritmetabell  

For å multiplisere tallene 2 og 3 kan vi da regne slik

2·3100,3010·100,4771=100,310+0,4771=100,77816

Multiplikasjon blir erstattet av addisjon. Den siste overgangen finner vi ved å bruke tabellen baklengs.

Nå tenker du sikkert at det helt klart hadde vært enklere å multiplisere direkte. Det er selvfølgelig riktig akkurat for dette eksempelet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tall med mange siffer, uten kalkulator (!). Da hadde det vært lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.

Tenkeboble, vi kan bare finne 10 Det tallet som 10 må opphøyes i for å gi et tall a , kalles for den briggske logaritmen til a . Hvor tror du navnet «briggske» kommer fra?

Den briggske logaritmen symboliseres på norsk med lg. Vi har at
lg 20,3010 fordi 100,30102 , lg 100=2 fordi 100=102 osv.

 

Logaritmetabeller og regnestaver ble brukt i norsk skole fram til 1970 - tallet. Da overtok kalkulatoren.Logaritmetabeller og regnestaver ble brukt i norsk skole fram til 1970 - tallet. Da overtok kalkulatoren.Logaritmetabeller ble brukt i norsk skole fram til 1970-tallet. Da overtok kalkulatoren. Spør noen voksne du kjenner om de husker logaritmetabellene. Kanskje noen har en gammel tabell liggende?

Logaritmer er fortsatt aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdier ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorer brukes gjerne log som er den internasjonale betegnelsen for logaritmer med 10 som grunntall.

Vi skal bruke logaritmer til å forenkle uttrykk og løse likninger og ulikheter.

Relatert innhold