Fagstoff

Rasjonale ulikheter

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Når vi skal løse en rasjonal likning, multipliserer vi først med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet for å få en likning uten brøker. Det kan vi ikke gjøre når vi har en brøkulikhet med x i nevner. Hvorfor?

Jo, problemet er at når vi har en brøkulikhet med x i nevner, vil nevneren være negativ for noen x-verdier og positiv for andre x-verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall.

Vi løser rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

x+12x-11    x12

Vi må forutsette at x er forskjellig fra 12, for ellers får vi null i nevneren.

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side

   x+12x-11x+12x-1-10

Vi trekker sammen til en brøk og faktoriserer teller og nevner hvis nødvendig

x+12x-1-1·2x-12x-10        x+1-2x+12x-10               2-x2x-10

Telleren er null når 2-x=0, det vil si når x=0. Nevneren er null når 2x-1=0, det vil si når x=12. Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar «stikkprøver» og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene ,12, 12,2 og 2,.

For x=0 får vi

2-02·0-1=+2-1  Uttrykket er negativt.

For x=1 får vi

2-12·1-1=+1+1  Uttrykket er positivt.

For x=3 får vi

2-32·3-1=-1+5  Uttrykket er negativt.

Vi setter opp et fortegnsskjema for brøken  2-x2x-1Rasjonale ulikheter

NB! Legg merke til at brøken 2-x2x-1 ikke er definert når nevneren blir 0 . I fortegnsskjemaet markerer vi dette med to pilspisser som møtes.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x brøken x+12x-11 det vil si at 2-x2x-10. Løsningen på oppgaven blir at x må være større enn 12 og mindre enn eller lik 2,x<12,2],

Merk at her kunne uttrykket vårt være null, og da tar vi med 2 i løsningen.

Ved CAS i GeoGebra

Rasjonale ulikheter i GeoGebra. Utklipp  

Relatert innhold

Generelt