Fagstoff

Ulikheter av tredje grad

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Ulikheter av tredje grad løses på tilsvarende måte som ulikheter av andre grad.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

-4x2<x-4-x3

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side. Da kan vi faktorisere venstresiden, og ulikheten kan løses ved å studere fortegnet til det faktoriserte uttrykket.

x3-4x2-x+4<0

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket x3-4x2-x+4 blir null for x=1.

13-4·12-1+4=1-4-1+4=0

Det viser at x-1 er en faktor i x3-4x2-x+4.

Vi utfører så polynomdivisjonen

   x3-4x2-x+4:x-1=x2-3x-4-x3-x      -3x2-x+4  --3x2+3x           -4x+4        --4x+4                   0

Vi setter x2-3x-4=0 og finner nullpunktene

x2-3x-4=0          x=--3±-32-4·1·-42·1          x=3±52          x1=4   x2=-1

Vi har dermed nullpunktene x=-1, x=1 og x=4.

Det betyr at

x3-4x2-x+4=x+1x-1x-4

Ulikheten kan nå skrives slik

       x3-4x-x+4<0x+1x-1x-4<0

Vi tar nå «stikkprøver» for å finne ut hvilket fortegn uttrykket x+1x-1x-4 har i hvert av de fire intervallene ,-1, -1,1, 1,4 og 4,.

For x=-2 får vi

-2+1-2-1-2-4=-1·-3·-5 Uttrykket er negativt.

For x=0 får vi

0+10-10-4=+1·-1·-4 Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2+12-12-4=+3·+1·-2 Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5+15-15-4=+6·+4·+1 Uttrykket er positivt.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et fortegnsskjema. Ulikheter av tredje grad  Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det var slik at -4x2<x-4-x3, det vil si at x3-4x2-x+4<0. Løsningen på oppgaven blir da at x må være mindre enn −1 eller ligge mellom 1 og 4.

Løsning x,-11,4

Ved CAS i GeoGebra

Ulikheter av tredje grad i GeoGebra. Utklipp  

Relatert innhold

Generelt