Fagstoff

Ulikheter av andre grad

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

I eksempelet om ulikheter av første grad kunne vi altså løse ulikheten direkte. Men for ulikheter av høyere grad må vi gjøre det på en annen måte.

Gitt ulikheten

x2<5x-4

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side.

x2-5x+4<0

Vi finner så nullpunktene til uttrykket x2-5x+4 ved å bruke for eksempel abc-formelen

x2-5x+4=0          x=--5±-52-4·1·42·1          x=5±92          x=5±32          x1=4    x2=1

Vi vet nå at uttrykket x2-5x+4 er lik 0 når x=1 og når x=4. Det er bare for disse x-verdiene et slikt andregradsuttrykk kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdier i hvert av de tre intervallene ,1 ,1,4 og 4, . For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta «stikkprøver» for en x-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For x=0 får vi

0-40-1=-4·-1 Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2-42-1=-2·1 Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5-45-1=1·4 Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe er fortegnene på parentesuttrykkene.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et fortegnsskjema. Det består av en tallinje som viser -verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet, og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En «0» viser at uttrykket er lik null for denne x -verdien. Ulikheter av andre grad  Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x2<5x-4. Det er det samme som å finne ut når x2-5x+4<0. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å finne løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at x må ligge mellom 1 og 4, dvs. x1,4 . Merk at siden uttrykket vårt skulle være mindre enn null så skal ikke 1 og 4 være med i løsningen.

Ved CAS i GeoGebra bruker vi likningsknappen

Ulikheter i GeoGebra. Utklipp  

Relatert innhold

Generelt