Fagstoff

Vektorfunksjoner og parameterframstilling for linjer i rommet

Publisert: 02.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Parameterfremstilling for en rett linje 

Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at

AP=t·AB

Vi har at

OP=OA+OPOP=OA+t·AB

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen. Vektorfunksjonen OP beskriver derfor linjen gjennom A og B.

Linjer i rommet i et koordinatsystem. Bilde. Eksempel

En linje går gjennom punktene A3,4,2 og B5,8,10.

En vektorfunksjon for linjen er

OP=OA+t·ABOP=3,4,2+t5-3,8-4,10-2OP=3,4,2+t2,4,8OP=3+2t,4+4t,2+8t

En parameterfremstilling for linjen er

x=3+2t    y=4+4t    z=2+8t

I stedet for å kjenne to punkter på linjen er det nok å kjenne ett punkt Ax0,y0,z0 på linjen og en tilfeldig vektor a,b,c som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen.

En vektorfunksjon for linjen blir

OP=OA+APOP=x0,y0,z0+t·abcOP=x0+at,y0+bt,z0+ct

En parameterfremstilling for linjen blir

x=x0+at    y=y0+bt    z=z0+ct

 

Oppgaver

Generelt