Fagstoff

Vektorprodukt

Publisert: 30.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vektorprodukt og høyrehåndsregel 

Vi innfører nå en ny operasjon på to vektorer i rommet som vi kaller for vektorproduktet. Som symbol for operasjonen bruker vi et kryss, ×. Derfor kaller vi også vektorproduktet for kryssproduktet.

 

Vektorprodukt med determinant 

Vektorproduktet er, på samme måte som skalarproduktet, en operasjon på to vektorer. Mens skalarproduktet av to vektorer gir et tall (en skalar), gir vektorproduktet en ny vektor. Den nye vektoren står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene, og lengden til den nye vektoren er lik produktet av lengdene til de opprinnelige vektorene multiplisert med sinus til vinkelen mellom dem.

Du skal senere i kapitlet se at ved å definere vektorproduktet på denne måten, får vi et effektivt redskap til å regne ut arealet og volumet til legemer i rommet.

 

Definisjon

Bilde av en vinkel  La a og b være to vektorer. La c være
vektorproduktet av a og b.
Vi skriver

c=a×b   


La vinkelen mellom a og b være θ. Da er

c=a·b·sinθ

 

c står vinkelrett på både a og b.
ab og c danner et høyrehåndssystem (Se nedenfor).

 Bilde av en tenkeboble  

 

 

Et høyrehåndssystem

Du lurer sikkert på hva vi mener med «et høyrehåndssystem». Du så ovenfor at c står vinkelrett på både a og b. Men hvordan vet vi at den peker «oppover» (se figuren ovenfor) og ikke «nedover»? 
For å avgjøre retningen til c, kan vi bruke høyre hånd.

Bilde av Høyrehånsregelen

 

 

La pekefingeren peke i samme retning som den første vektoren og langfingeren i samme retning som den andre. Tommelen peker da i samme retning som kryssproduktet.

 

 

 

Når du bruker høyrehåndsregelen, vil du se at hvis a×b=c, så vil b×a=-c.
 «Faktorenes orden» er altså ikke likegyldig når vi arbeider med vektorprodukt.

Bilde av Høyrehåndsregelen

Oppgaver

Generelt