Fagstoff

Tredimensjonale vektorkoordinater, definisjon og regneregler

Publisert: 30.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Tredimensjonale koordinatsystem  

Bilde av vektorer

 

Alle vektorer i rommet kan på tilsvarende måte som i planet, skrives som en vektorsum av enhetsvektorer.

Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater også i rommet.

 

 

OP=[x,y,z]=x·ex+y·ey+z·ez

 

 

 

 

 

 

Det kan på tilsvarende måte som i planet, vises at tilsvarende regneregler gjelder for vektorer i rommet.

Addisjon av vektorer på koordinatform

[x1,y1,z1]+[x2,y2,z2]=[x1+x2,y1+y2,z1+z2]

 

Subtraksjon av vektorer på koordinatform

[x1,y1,z1]-[x2,y2,z2]=[x1-x2,y1-y2,z1-z2]

 

Multiplikasjon av vektor med tall

t·[x,y,z]=[t·x,t·y,t·z]

 

Vektorer mellom punkter

Gitt punktene A(x1,y1,z1) og B(x2,y2,z2).

 

Da er

 

AB=[x2-x1,y2-y1,z2-z1]

 

Posisjonsvektoren

Bilde av vektorer Vi ser spesielt at vektoren fra origo
O (0,0,0) til et punkt P (x,y,z) er

 

 OP=[x,y,z].


OP kalles for posisjonsvektoren til punktet P.

 

Legg merke til at punktet og posisjonsvektoren til punktet har «samme» koordinater, men med en viktig forskjell. Punktet har punktkoordinater, og vi bruker vanlige parenteser.

 

Vektoren har vektorkoordinater, og vi bruker
hakeparenteser.

 

Skalarproduktet av vektorer gitt på koordinatform

[x1,y1,z1]·[x2,y2,z2]=x1·x2+y1·y2+z1·z2

Eksempel

[2,3,4]·[4,5,6]=2·4+3·5+4·6=47

Regne ut skalarproduktet mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.  


Lengden til en vektor gitt på koordinatform

Lengden til vektoren [x,y,z] er gitt ved

 

[x,y,z]=x2+y2+z2

Eksempel

[3,4,5]=32+42+52=9+16+25=50=25·2=52

Regne lengden til en vektor i CAS GeoGebra. Bilde.  


Vinkelen mellom vektorer gitt på koordinatform

Vinkel mellom vektorer i et koordinatsystem. Bilde. Gitt vektorene

 

1,2,3 og -3,-1,1

 

La α være vinkelen mellom vektorene.

 

Definisjonen på skalarproduktet gir da

1,2,3·-3,-1,1=1,2,3·-3,-1,1·cos α                 cos α=1,2,3·-3,-1,11,2,3·-3,-1,1                 cos α=-214·11                 cos α=99,3°

Vinkel mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.  

Avstanden mellom punkter i rommet

Gitt punktene A(x1,y1,z1) og B(x2,y2,z2)

 

Da er AB=[x2-x1,y2-y1,z2-z1]

 

Avstanden, d, mellom A og B er

 

d=AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Til slutt skal vi ta med de setningene vi bruker når vi skal avgjøre om to vektorer eller linjer står ortogonalt på hverandre, eller om de er parallelle. Vi forutsetter at alle vektorene har lengde forskjellig fra null.

Ortogonalitet og parallellitet

aba·b=0aba=t·b      hvor t

 

Bilde av farget lys på svart bakgrunn Farget lys på svart bakgrunn. Ortogonalitet og parallellitet?