Fagstoff

Vektorer på koordinatform

Publisert: 30.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vektorer på koordinatform 

I R1 lærte du å beskrive vektorer i planet ved hjelp av vektorkoordinater. Det ble da for eksempel mulig å addere vektorer uten å henge piler etter hverandre.

Bilde av tredimensjonale vektorer Vi innførte en rekke regneregler for å kunne regne med vektorer i planet på koordinatform. Vi skal utvide disse regnereglene til også å gjelde tredimensjonale vektorer. Vi innfører en ekstra koordinat slik at hvis x- og y-koordinatene beskriver planet, så vil x-, y- og z-koordinatene beskrive rommet.

Vi repeterer først innføringen av vektorkoordinater fra R1, og så ser vi mer på hvordan det blir med en ekstra koordinat.

 

Bilde av koordinatsystem med to vektorer

I koordinatsystemet til høyre har vi plassert to vektorer med utgangspunkt i origo. Vektoren ex går fra origo til punktet (1,0), og ey går fra origo til punktet (0,1).

Disse vektorene har lengde 1, er parallelle med henholdsvis x-aksen og y-aksen og står normalt på hverandre. Vi kaller dem enhetsvektorer. (Vi plasserer vanligvis enhetsvektorene med utgangspunkt i origo, men de kunne like gjerne vært plassert et annet sted i koordinatsystemet.)

I koordinatsystemet har vi også tegnet vektoren

a=ax+ay=5·ex+3·ey

Alle vektorer kan på tilsvarende måte skrives som en kombinasjon av enhetsvektorene.

Når vi skal tegne a, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 enheter langs
x
- aksen i positiv retning og 3 enheter langs y - aksen i positiv retning for å finne vektorens endepunkt. Når tallene 5 og 3 er kjent, er vektoren bestemt. Vi innfører en forenklet skrivemåte for for a:

a=5,3

Bilde av en tenkeboble Denne skrivemåten likner på måten punkt angis på, men det er en viktig forskjell. For vektorer bruker vi hakeparenteser mens vi for punkt bruker vanlige parenteser.

(5,3) kalles punktkoordinater og angir punktet som har
x
- koordinat lik 5 og y - koordinat lik 3.

[5,3] kalles vektorkoordinater og betyr det samme som vektoren 5·ex+3·ey.

I GeoGebra brukes ikke hakeparenteser. Her kan (5,3) angi både vektor og punkt. Bruker du stor bokstav og skriver A = (5,3), får du punktet (5,3). Bruker du liten bokstav og skriver v = (5,3), får du vektoren [5,3] med start i origo. GeoGebra bruker også skrivemåten 53 for vektoren.

Vektor i GeoGebra. Bilde.  

Definisjon

 

Alle vektorer kan skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater

[x,y]=x·ex+y·ey

 

Vi bruker hakeparenteser for å betegne en vektor mens vi bruker vanlige parenteser for å betegne et punkt.

 

Oppgaver