Fagstoff

Ortogonale vektorer, regneregler for skalarproduktet og lengden av en vektor

Publisert: 30.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Regneregler for skalarproduktet 

Når to vektorer står ortogonalt (normalt, vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene 90°. Siden cos90°=0 (se enhetssirkelen), vil skalarproduktet av vektorene være lik null:

a·b=a·b·cos90°a·b=a·b·0a·b=0

Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik null, og begge vektorer er forskjellige fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være null, og vektorene står ortogonalt på hverandre.

To vektorer som står ortogonalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er .

Oppsummering

 

aba·b=0

 

Regneregler for skalarproduktet

Det kan vises at regnereglene nedenfor gjelder for skalarproduktet.

a·b=b·aa·b+c=a·b+a·ca+b·c+d=a·c+a·d+b·c+b·dsa·tb=s·ta·b

og

a+b2=a2+2a·b+b2a-b2=a2-2a·b+b2a+b·a-b=a2-b2

Lengden av en vektor

Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet av to vektorer er definert som

a·b=a·b·cosα

Når en vektor «prikkes med seg selv», får vi en spesiell situasjon. Vinkelen α er da 0°. Som du ser av enhetssirkelen ovenfor, er cos0°=1. Vi får derfor

a·a=a·a·cos0°   a2=a2·1    a2=a2

Vi snur likningen og får et uttrykk for lengden av en vektor.

a=a2

Legg merke til skrivemåten a2 for a·a.
Oppgaver

Generelt