Fagstoff

Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Når vi skal forenkle rasjonale uttrykk som inneholder polynomer, må vi først faktorisere polynomene.

Eksempel 1

Vi ønsker å forkorte brøken

x3-x2-4x+42x2-4x

Nevneren kan faktoriseres ved å sette felles faktor utenfor parentes

x3-x2-4x+42x2-4x=x3-x2-4x+42x(x-4)

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren. Vi ser først at telleren ikke blir null når vi setter inn x=0. Det betyr at teller ikke er delelig med x.

Vi undersøker så om telleren er delelig med x-2.

Hvis telleren er delelig med x-2, vil polynomet x3-x2-4x+4  være lik 0 når x=2.

Vi setter inn x=2 og regner ut

23-22-4·2+4=0

Svaret ble 0. Da vil følgende polynomdivisjon «gå opp»

    x3-x2-4x+4:x-2=x2+x-2-x3-2x2         x2-4x+4      -x2-2x             -2x+4            -2x+4                     0

Vi har da faktorisert tredjegradpolynomet i telleren og funnet at

x3-x2-4x+4=x-2x2+x-2

Vi kan nå forkorte brøken

x3-x2-4x+42x2-4x=x-2x2+x-22xx-2=x2+x-22x

Eksempel 2

Vi ønsker å forkorte brøken

x3-3x2-x+3x2-1

Nevneren kan faktoriseres ved å bruke tredje kvadratsetning

x3-3x2-x+3x2-1=x3-3x2-x+3x-1x+1

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren.

Vi undersøker først om telleren er delelig med x-1.

Hvis telleren er delelig med x-1, vil polynomet x3-3x2-x+3 være lik 0 når x=1.

Vi setter inn x=1 og regner ut

13-3·12-1+3=1-3-1+3=0

Svaret ble 0. Da er polynomet delelig med x-1 .

Vi undersøker så om telleren er delelig med x+1.

Vi setter inn x=-1 og regner ut

-13-3·-12--1+3=-1-3+1+3=0

Svaret ble 0. Da er polynomet også delelig med x+1.

Siden polynomet er delelig både med x-1 og x+1, må det være delelig med produktet x+1x-1=x2-1.

Vi utfører divisjonen

   x3-3x2-x+3:x2-1=x-3-x3-x           -3x2+3    --3x2+3                 0

Vi har nå faktorisert tredjegradspolynomet fullstendig

x3-3x2-x+3=x+1x-1x-3

Vi kan da forkorte brøken

x3-3x2-x+3x+1x-1=x-1x+1x-3x-1x+1=x-3

Ved CAS i GeoGebra

faktorisering i GeoGebra. Utlipp  

Relatert innhold

Generelt