Fagstoff

Den deriverte til en potensfunksjon

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi vil finne den deriverte funksjonen til fx=x2. Vi bruker definisjonen

f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0x+Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx          =limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarende kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan vises at generelt er xn'=nxn-1 uansett hvilket tall n er.

Potensfunksjon derivert   

Eksempel 1          fx=x2f'x=2x2-1=2x1=2x   Eksempel 2   fx=x3f'x=3x3-1=3x2              Eksempel 3              fx=x5              f'x=5x4

 Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan vises at følgende regel gjelder for produktet mellom en konstant og en potensfunksjon.

Potensfunksjon multiplisert med konstant  

Eksempel 4                  fx=3·x2f'x=3·2x2'      =3·2x      =6xEksempel 5fx=3·x4f'x=3·4·x4-1      =12x3

Oppgaver