Fagstoff

Eksponentialfunksjoner

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Eksponentialfunksjoner begynner ca midt i filmen  

En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen a·bx der tallet b kalles vekstfaktoren.
Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av b, og vi skal bare se på funksjoner der a også er positiv.

Funksjonene g og h gitt nedenfor er eksempler på eksponentialfunksjoner.

g(x)=2,5·1,5x         Dg=[-4, 6]h(x)=6,5·0,8x        Dh=[-4, 6]

Bilde av en graf Når vekstfaktoren er større enn 1, øker funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise veksten p og vekstfaktoren b er da gitt ved likningen

b=1+p100

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, avtar funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise nedgangen p og vekstfaktoren b er da gitt ved likningen

b=1-p100

 

 


Antall individer i en populasjon i naturen vil øke eksponentielt hvis populasjonen har ubegrenset tilgang til mat og ingen fiender. Populasjonen vil ikke vokse så fort i begynnelsen, men etter hvert vil veksten øke mer og mer. Dette er karakteristisk for eksponentiell vekst. (Se grafen til g i koordinatsystemet ovenfor.)

Vi vil også få eksponentiell vekst på et bankinnskudd med en fast årlig rente.

Verdien på en gjenstand, for eksempel en bil, vil ofte utvikle seg som en eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1.

Praktiske eksempler på eksponentialfunksjoner

Eksempel

Bankansatt som viser prisliste i en bank. Foto. Hvis du setter 1000 kroner i banken i dag og får 6 % rente på pengene, kan du om ett år ta ut 1000 kroner·1,06=1060 kroner av banken.

 Tallet 1,06 er vekstfaktoren. Hvis pengene står tre år i banken, vil beløpet vokse til 1000 kroner·1,063=1191 kroner.

Hvis 1000 kroner står x år i banken med 6 % rente, vil beløpet vokse til 1000·1,06x kroner.

Innestående beløp, B, er en funksjon av antall år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir

B(x)=1000·1,06x

Bilde av en graf Grafen til funksjonen viser for eksempel at beløpet på 1000 kroner har vokst til 1191 kroner etter 3 år (som vi regnet ut ovenfor)og til 2693 kroner etter 17 år.

Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner svaret ved å tegne den rette linjen y=2·1000=2000 i samme koordinatsystem som grafen til B og så finne skjæringspunktet mellom linjen og grafen.  Pengene må stå i banken i 12 år.

Dette kan vi også finne ved regning.

Vi setter antall år pengene må stå i banken lik x og får likningen

1000·1,06x=2·1000

Denne likningen løser vi ved CAS i GeoGebra
Løse eksponentiallikning i Geogebra. Bilde.  

Eksempel

Jente holder nøkkel til ny bil. Foto.  Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene.

Bilens verdi V(x), x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

V(x)=200 000·0,90x

Vi tegner grafen V.

Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kr etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var ca. 305 000 kroner.

Bilde av graf  

Vi kan finne det samme ved regning. Husk at du ikke trenger definere funksjonen på nytt når den finnes i algebrafeltet.

Utregning av funksjonsverdi i CAS. Bilde.  

Hvordan tegne grafen til en eksponentialfunksjon uten digitale hjelpemidler

Du har kanskje lagt merke til at grafen til alle eksponentialfunksjoner gitt ved a·bx skjærer  y-aksen bilde av en tenkeboble  i punktet y=a. Dette er et godt utgangspunkt for å tegne grafen.

Du vet også at grafen vokser mot høyre når b  er større enn 1, og avtar mot høyre når b  er mindre enn 1.

Bruk dette som et utgangspunkt når du velger ut x-verdier til verditabellen.