Fagstoff

Rasjonale funksjoner

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.  Nevneren kan ikke være null.

 

Polynomet i telleren eller nevneren kan ha grad null, derfor er alle polynomfunksjoner, og også funksjoner som 1x, rasjonale funksjoner.

 

Eksempel

Funksjonen f gitt ved f(x)=x-2x+2 er en rasjonal funksjon.
En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at f(-2) ikke eksisterer. Grafen har ikke noe punkt for x=-2. Vi sier at grafen har et brudd for x=-2.

Vi tegner grafen til f i GeoGebra og skriver også inn kommandoen «Asymptote[f]».

Rasjonal graf med asymptoter. Bilde.  

Når x nærmer seg verdien -2 fra venstre, ser du av grafen at funksjonsverdiene vokser over
alle grenser.

Vi skriver

f(x) når x-2-

Videre ser du av grafen at funksjonsverdiene synker mot minus uendelig når x nærmer seg -2 fra høyre.

Vi skiver 

f(x)- når x-2+

Du kan selv undersøke om dette stemmer ved å sette inn verdier for x som er veldig nær -2.

Funksjonen f har ingen grenseverdi når x går mot -2.

Bilete av ei tenkjeboble  Vi kan skrive dette slik

limx-2f(x) eksisterer ikke

Vi leser «grenseverdien til f når x går mot -2 eksisterer ikke».

Du ser at grafen består av to deler, en del til venstre for linjen x=-2 og en del til høyre for linjen x=-2. Linjen x=-2 er en loddrett, eller vertikal asymptote.   

Ser du videre at grafen «flater ut» og nærmer seg linjen y=1 når x går mot pluss eller minus uendelig? Den ene delen av grafen nærmer seg linjen ovenfra og den andre delen nedenfra. De to delene av grafen vil aldri krysse linjen. Linjen y=1 er en vannrett, eller horisontal asymptote.

Vi skriver limxfx=1

Hvor finne asymptotene

Den vertikale asymptoten finner du ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik null.
 I eksemplet ovenfor så vi på funksjonen f gitt ved f(x)=x-2x+2.

Vi får likningen x+2=0 som gir x=-2 som den vertikale asymptoten til funksjonen f.

Den horisontale asymptoten finner du ved å la x gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i
brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive

limx±f(x)=limx±x-2x+2xx=1

Hvordan tegne grafen til en rasjonal funksjon?

Det er alltid lurt å først finne asymptotene når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon uten digitale hjelpemidler. Så kan du lage en verditabell der du velger de fleste - verdiene i nærheten av den loddrette asymptoten. Du bør også utnytte at grafen er symmetrisk om skjæringspunktet mellom asymptotene.