Fagstoff

Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Mann klatrer inn i pappeske. Foto. Tenk deg at du skal lage en eske uten lokk av en kvadratisk papplate med sidelengder 60 cm. Du må da klippe bort et kvadrat i hvert hjørne.

Du må altså klippe bort de fire mørkeblå kvadratene på tegningen til høyre. De lyseblå rektanglene bretter du opp, og du får da en eske med det lyse kvadratet i midten som bunn.

Bilde av tegning på hvordan man lager en eske  

Formen på esken avhenger av hvor store kvadrater du klipper bort. Vi kaller sidene i kvadratene du klipper bort, for x. Hvis x er stor, vil esken få en liten bunn, men blir desto høyere. Hvis x er liten, vil esken få stor bunn, men den vil bli lav.

Volumet av esken vil være avhengig av x. Det vil si at volumet er en funksjon av x. Vi vil finne en formel for denne funksjonen.

Bunnen til esken blir et kvadrat med sider 60-2x. Det kan vi lese ut av tegningen.

Arealet til bunnen, det vi kaller grunnflaten, blir da

G=(60-2x)·(60-2x)  =60·60-60·2x-2x·60-2x·(-2x)  =3600-240x+4x2

Høyden av esken blir x. Vi må multiplisere grunnflaten med høyden for å få volumet.

V(x)=(3600-240x+4x2)·xV(x)=3600x-240x2+4×3V(x)=4x3-240x2+3600x

Volumet er altså en polynomfunksjon av tredje grad. Vi ser også at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få en eske. Definisjonsmengden er da Df=0,30. 
Hvis x er lik 0, klipper vi ikke bort noe, og hvis x er lik 30 cm, får vi ingen bunn.

Vi tegner grafen til volumfunksjonen.

Vi ser av grafen at verdimengden Vf=<0,16000]. Det vil si at volumet til esken er større enn 0 cm3 og mindre enn eller lik 16000 cm3.

Bilde av en graf  Vi kan ellers se av grafen at

  • Hvis vi ønsker en eske med størst mulig volum, må vi klippe bort kvadrater med sider 10 cm.
  • Hvis vi ønsker esker med volum
    lik 8000 cm3, må vi klippe bort kvadrater med sider 2,68 cm eller 20,0 cm.
  • Vi kan også gå motsatt vei og lese
    av hvor stort volum en bestemt
    verdi av x gir.