Fagstoff

Polynomfunksjoner

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Definisjon

 

Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med xn, der n er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket x-4+2x3 er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er tre.

 

En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.

 

Uttrykket 3x+3 er et polynom av første grad, fordi x er av første grad. Uttrykket 2x2-2x+4 er et polynom av andre grad, fordi vi her har et ledd der x er opphøyd i andre potens. To er den høyeste eksponenten i uttrykket. x-4+2x3 er et eksempel på et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten av x her er tre.

Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to osv. Fjerdegradspolynomet -5+3x3-x2+7x4 skriver vi på ordnet form som 7x4+3x3-x2-5. Tallene foran potensene av x kaller vi koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran x2 lik -1.

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.

Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

f(x)=13x3+12x2-x-1

Bilde av en graf  

Nullpunkter

Funksjonen har nullpunkt der grafen skjærer x-aksen. Nullpunktene er
x=-2,2      x= -0,8     og      x=1,6

Skjæring med y-aksen

Grafen skjærer y-aksen for x = 0. Skjæringspunktet er (0, -1).

Topp- og bunnpunkter

Grafen har toppunkt (-1,6 , 0,5).
Grafen har bunnpunkt (0,6 , -1,3).

For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier allikevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt.

Ekstremalpunkter

Med ekstremalpunkt mener vi x - verdien til toppunkt eller bunnpunkt.

Maksimal- og minimalverdier

Med maksimal- og minimalverdi mener vi y - verdien til toppunkt og bunnpunkt.

Skjæring mellom grafer

Vi kan finne skjæringspunktene mellom grafene til to tredjegradsfunksjoner f og g grafisk eller ved å løse likningen f(x) = g(x).