Fagstoff

Lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi skal se på noen praktiske problemstillinger som kan beskrives ved hjelp av andregradsfunksjoner.

Eksempel 1

Bruk en tråd som er litt lengre enn 12 dm. Bind sammen endene slik at du kan lage rektangler med omkrets 12 dm.

1)   Mål sidelengdene og regn ut arealet av rektanglene. Fyll ut tabellen nedenfor.

Lengde (dm)0123456
Bredde (dm)       
Areal (dm2)       

 

2)   Lag et koordinatsystem der x-aksen viser lengden av rektangelet og y-aksen viser arealet. Marker resultatene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet.

3)   Forklar at hvis vi setter lengden av rektangelet lik x dm, vil bredden bli (6-x) dm.

4)   Finn et uttrykk for arealet av rektangelet, A(x).

5)   Bilde av en tenkeboble   Tegn grafen til A i samme koordinatsystem som du brukte i 2).

6)   Hva er det største arealet rektangelet kan få? 

Hvor lange er sidene i dette rektangelet? 

Hva kaller vi et slikt rektangel?

7)   Finn nullpunktene til A.

Hva forteller nullpunktene om arealet av rektangelet?

 

Lengde (dm)0123456
Bredde (dm)6543210
Areal (dm2)0589856

 

Punkter på en graf i koordinatsystem. Bilde.  Vi setter lengden lik l og bredden lik b.

Siden omkretsen er 12, har vi at

2l+2b=12

Bilde av ett rektangel  Vi setter l=x og får

2l+2b=12    l+b=6   x+b=6       b=6-x

 

A(x)=l·bA(x)=x·(6-x)A(x)=-x2+6x


Vi ser at grafen til A går gjennom alle punktene fra tabellen.

Vi ser at grafen har toppunkt i (3,9).
Det største arealet rektangelet kan få er 9 dm2.

Lengden er da 3 dm og bredden er b=(6-x) dm=(6-3) dm=3 dm.

Alle sidene er da like lange og rektangelet er et kvadrat.

Vi ser at grafen har nullpunkter (0,0) og (6,0).  Det betyr at hvis lengden er 6 dm eller 0 dm blir arealet null. Vi har da ikke noe reelt rektangel.

Øvelse

Tegne andregadsfunksjoner i Geogebra. Bilde. Tegn grafen til hx=6-x i GeoGebra.

Velg et punkt C på grafen til h.

Ser du at punktet C får koordinatene (x,6-x)?

Lag normaler fra punkt C inn på koordinataksene, marker skjæringspunktene og tegn rektanglet ABCD.

Ser du at arealet til rektanglet er gitt ved funksjonen Gx=x·6-x=-x2+6x?

Flytt punktet C på grafen til h .

For hver verdi av x kan du nå lese av arealet og samtidig se formen på rektanglet.

Ser du at arealet er størst når rektangelet er et kvadrat?

Eksempel 2

En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved 

K(x)=0,25x2+500

viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter. 

Bedriften kan maksimalt produseres 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved I(x)=45x

Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved

O(x)=I(x)-K(x).

Figuren viser grafene til K, I og O.

Bilde av en graf og en tenkeboble  Skjæringspunktene A og B mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter for x = 12 og x = 128.

Bedriften går med overskudd når det produseres mellom 12 og 168 enheter. Ved produksjon av mindre enn 12 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene og overskuddet er negativ. Bedriften taper penger.

Grafen til O har toppunkt E. Bedriften oppnår maksimalt overskudd ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da 1525 kroner.