Fagstoff

Andregradsfunksjoner

Publisert: 08.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

En funksjon fx som kan skrives på formen

 

fx=ax2+bx+c    der   a0 

 

kalles en andregradsfunksjon.

 

Tallene a, b og c er konstante tall.

 

Legg merke til at en andregradsfunksjon alltid inneholder et andregradsledd, ax2, forskjellig fra null, mens førstegradsleddet  bx og konstantleddet c godt kan være lik null.

 

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

Nedenfor har vi tegnet grafene til andregradsfunksjonene f, g og h gitt ved

fx=x2-4x+3, gx=-x2+3x+4 og hx=x2-4x+4

Bilde av grafer   

Bilde av tenkeboble      

De mest karakteristiske trekkene ved parabler er at de har et toppunkt eller et bunnpunkt og at de er symmetriske om en linje parallell med y-aksen gjennom dette punktet.

Ekstremalpunkt er et fellesnavn for x - verdien til topp- eller bunnpunktet.

Hva betyr verdiene av a, b og c for grafen til en andregradsfunksjon?

Du kan bruke GeoGebra for å undersøke hva som skjer med grafen til en andregradsfunksjon når du endrer verdiene av a, b og c.

Først lager du tre glidere, en for a, en for b og en for c.

Så skriver du funksjonsuttrykket f(x)=a·x2+b·x+c i inntastingsfeltet. 
(Husk gangetegn mellom a og x2, og mellom b og x.)

For å se tydelig hvordan grafen endrer seg når du endrer a, b og c, kan det være lurt å finne parabelens ekstremalpunkt og så slå på sporing på dette punktet.

Spørsmål

  1. Hva skjer med grafen når du endrer verdien av c? Hvordan kan du finne konstantleddet c til en andregradsfunksjon ved å se på grafen til funksjonen?
  2. Hva skjer med grafen når du endrer  verdien av a? Hvordan ser grafen ut når a>0 og a<0? Hvorfor blir grafen en rett linje når a=0?
  3. Alle parabler har en symmetrilinje. Hva betyr det?

 

Klarte du å svare på alle spørsmålene?

Her kommer en liten oppsummering. Stemmer punktene nedenfor med det du fant ut?

 

  • Tallet c forteller hvor grafen til andregradsfunksjonen skjærer y-aksen.
 Ser du hvorfor det må være slik?
 Når grafen skjærer y-aksen, er x=0.
    f0=a·02+b·0+c=c
  • Hvis tallet a er lik null, forsvinner andregradsleddet, og vi har en lineær funksjon.
    Bilde av en smilemund og en surmund fx=0·x2+bx+c=bx+c
  • Hvis tallet a er positivt, har grafen et bunnpunkt. Det vil si et punkt hvor funksjonen har sin minste verdi. Grafen vender sin hule side opp, den «smiler».
  • Hvis tallet a er negativt, har grafen et toppunkt. Det vil si et punkt hvor funksjonen har sin største verdi. Grafen vender sin hule side ned, den er «sur».
  • Når a øker, vil parabelen bli smalere. 

    Når a minker, vil parabelen bli bredere. (Husk at når a=0, får vi en rett linje.)
  • Grafen er symmetrisk om en linje parallell med y-aksen som går gjennom topp- eller bunnpunktet. Denne linjen kalles symmetrilinjen

En som hopper 360 på snøbrett. Foto.