Fagstoff

Binomisk sannsynlighetsmodell

Publisert: 28.08.2012, Oppdatert: 20.04.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Flervalgsprøve 

Tenk deg at du får en matematikkprøve med fire oppgaver. Hver oppgave har fire svaralternativer, og du skal krysse av for riktig svaralternativ.

Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. Det vil si at hva du svarer på en oppgave, ikke påvirker svaret ditt på den neste.

Du krysser av helt tilfeldig. Sannsynligheten for å svare riktig på en oppgave er da 14, og sannsynligheten for å svare galt er 34.

Hva er sannsynligheten for å få null, ett, to, tre og fire riktige svar?

Det er bare én måte du kan få fire riktige svar på.

PRRRR=14·14·14·14=144

Det er også bare én måte du kan få null riktige svar på.

PGGGG=34·34·34·34=344

Men, hvor mange måter kan du få to riktige svar på?

Sannsynligheten for å svare riktig på det to første oppgavene (og galt på de to neste) er

PRRGG=14·14·34·34=142·342

Men, det er flere måter å få to riktige svar på. Du kan for eksempel svare riktig på de to siste oppgavene GGRR, på første og siste oppgave RGGR osv.

For å telle opp antall måter, kan du lage et valgtre. Valgtre prøve  

Valgtreet ovenfor viser hvor mange måter du kan få null, ett, to, tre og fire riktige svar på. Vi teller opp og samler resultatene i en tabell.

Tabell, antall rette

Tenkeboble, legg merke til

At binomialkoeffisientene dukker opp her er ikke så underlig. Å finne antall måter å få to rette svar på er det samme som å finne antall måter vi kan velge to plasser av fire hvor det skal stå R.

Dette blir samme problemstilling som å regne ut hvor mange måter vi kan velge ut 11 spillere fra en spillerstall på 20, 7 av 34 tall på en lottokupong osv.

I Tre ulike typer utvalg (avsnitt 3.2) så du at vi kan bruke binomialkoeffisienter for å regne ut antall kombinasjoner ved denne typen utvalg. Vi får altså at

PTo riktige svar=42·142·342

På samme måte vil da

PTre riktige svar=43·143·341

Det gjelder helt generelt. Vi antar at vi har en prøve med n oppgaver som besvares helt uavhengig av hverandre. For hver oppgave er det to muligheter, enten svarer vi riktig eller så svarer vi galt.

Sannsynligheten for å svare riktig er lik hele tiden. Vi kan kalle denne sannsynligheten for p.

Da blir sannsynligheten for å svare galt på en oppgave lik 1 − p, og vi får at

Pk riktige svar=nk·pk·1-pn-k

Sammensatte forsøk som for eksempel å besvare flervalgsprøven ovenfor kaller vi binomiske forsøk. Nedenfor finner du en oppsummering som viser hva som kjennetegner binomiske forsøk.

Binomisk forsøk og binomisk sannsynlighet


I et binomisk forsøk har vi n delforsøk.

Eksempel: Svare på fire oppgaver, n = 4

 

  • Alle delforsøkene har to mulige utfall, A eller A¯ (ikke A).
    Eksempel: Riktig eller galt svar på en oppgave
  • Sannsynligheten for A er den samme hele tiden. Vi setter p=PA. Da er PA¯=1-p.
    Eksempel: PRiktig svar=14 og PGalt svar=1-14=34

  • De enkelte delforsøkene er uavhengige.

 

La X være antall ganger A inntreffer.

Sannsynligheten for at A skal inntreffe k ganger er da gitt ved:

Eksempel: Sannsynligheten for et bestemt antall riktige svar

 

PX=k=nk·pk·1-pn-k

 

nk «n over k» kaller vi binomialkoeffisienten.

 

Eksempel: Sannsynligheten for å svare riktig på to av fire oppgaver når hver oppgave har fire svaralternativer er

 

PTo riktige svar=42·142·342

 

Terning Å kaste en terning et bestemt antall ganger, og se om vi får sekser eller ikke på hvert enkelt kast, er et annet eksempel på et binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovenfor til å beregne sannsynligheten for å få et bestemt antall seksere.

 

En krone

Å kaste en mynt et bestemt antall ganger og se om vi får «kron» eller «mynt» på hvert enkelt kast, er et også et eksempel på et binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovenfor til å beregne sannsynligheten for å få et bestemt antall «kron».

Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra for å regne ut binomisk sannsynlighet.

En flervalgsprøve har fem oppgaver med fire svaralternativer på hver oppgave. Du besvarer flervalgsprøven ved ren gjetning.
Du skal finne sannsynligheten for å svare riktig på akkurat én av oppgavene. Du velger «Binomisk fordeling» og fyller inn som vist nedenfor

Binomisk fordeling Geogebra Skjermbilde fra GeoGebra: Sannsynligheten er 0,3955.  

Sannsynligheten for å få mer enn to riktige svar

Binomisk fordeling GeoGebraSkjermbilde fra GeoGebra: Sannsynligheten er 0,1035.  

Oppgaver
Relatert innhold