Fagstoff

Viktige begreper i kombinatorikk

Publisert: 28.08.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Ordnet og uordnet utvalg

Tenk deg at vi fra en klasse på 30 elever skal trekke ut tre elever til skolelaget i fotball. Vi gir alle elevene et nummer fra 1 til 30, legger 30 lapper nummerert fra 1 til 30 i en hatt og trekker så ut tre lapper. Det er likegyldig om vi trekker rekkefølgen 3, 5 og 7, eller om vi først trekker nummer 7, så nummer 5 og så elev nummer 3. Det blir elevene nummerert som 3, 5 og 7 som blir tatt ut på laget.

Er det derimot et lotteri hvor den første som trekkes ut, vinner førstepremien, den andre som trekkes ut, vinner andrepremien og den tredje vinner tredjepremien, betyr rekkefølgen noe. Da er det ikke likegyldig om vi trekker 3, 5 og 7, eller om vi trekker 7, 5 og 3.

Dersom rekkefølgen til tallene ikke har noen betydning, har vi et uordnet utvalg. Dvs. at 3, 5, 7 er det samme som 3, 5, 7.

Dersom rekkefølgen har noe å si, er 3, 5, 7 forskjellig fra 7, 3, 5 og vi har et ordnet utvalg.

Med og uten tilbakelegging

I klasselotteriet ovenfor må vi bestemme oss for om samme elev kan vinne flere premier. Hvis det skal være mulig, må vi legge tilbake lappen vi har trukket ut før vi trekker neste. Hvis det ikke skal være mulig å vinne flere premier, legger vi ikke tilbake en lapp som er trukket ut.

Dersom du ikke kan trekke en lapp mer enn en gang, har vi et utvalg uten tilbakelegging.

Dersom du kan trekke den samme lappen to ganger eller mer, har vi et utvalg med tilbakelegging.

Produktregelen for kombinasjonerNy mobiltelefon?

Tenk deg at du skal kjøpe ny mobiltelefon, og at det finnes to produsenter å velge mellom. Hver av disse produsentene har tre modeller, og hver modell kan fås i fire farger. Hvor mange forskjellige mobiltelefoner kan du ende opp med?

For hver produsent kan du velge tre modeller.
Det gir 2·3 kombinasjonsmuligheter.


For hver av disse mulighetene kan du velge fire farger. Antall kombinasjonsmuligheter totalt blir da 2·3·4=24. Du kan ende opp med 24 forskjellige mobiltelefoner.

 

Produktregelen for kombinasjoner

 

Når vi skal foreta to valg etter hverandre, og det er m valgmuligheter i første valg og n muligheter i andre valg, er det til sammen

 

m · n  kombinasjonsmuligheter

 

Dersom vi fortsetter med flere valg, fortsetter vi å multiplisere med antall muligheter.

 

Fakultet

Produktet av alle naturlige tall fra 1 til n kaller vi n-fakultet. Som symbol bruker vi utropstegn. Utropstegnet setter vi etter tallet. For eksempel skriver vi 3-fakultet som 3! , og vi har at 3!=1·2·3=6. Vi definerer 0-fakultet til å være lik 1.

Definisjon


n!=1·2·3·4·.......·n0!=def1

Definisjonen av n-fakultet som produktet av alle naturlige tall fra 1 til n har ingen mening for n=0. Du skal senere se at definisjonen av 0! som tallet 1 gjør det mulig å lage gunstige formler i kombinatorikken.
Relatert innhold

Generelt