Fagstoff

Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

Publisert: 02.07.2012, Oppdatert: 25.04.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Graf

Vi tegner grafen til funksjonen fx=x2-4x+3 i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt, og vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt (2,-1).

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinjen til f, linjen x = 2

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen f(x) = 0.

       fx=02,h2=2,0x2-4x+3=0          x=-4±-42-4·1·32·1          x=4±16-122          x=4±22          x=2±1

Hvis vi stopper der, ser vi at x=2±1.

De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje!

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linjen x=2, og denne linjen er altså parabelens symmetrilinje!

Generelt er nullpunktene gitt ved

x=-b±b2-4ac2ax=-b2a±b2-4ac2a

Det betyr at vi kan finne symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter f(x) = 0.

 

Gitt andregradsfunksjonen

 

fx=ax2+bx+c

 

Vi finner nullpunktene ved å løse likningen f(x) = 0. Det gir

 

xNullpunkt=-b±b2-4ac2a

 

Vi finner symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved

 

xSymmetrilinje=-b2a

 

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

 

Graf Eksempel. To nullpunkter

Gitt funksjonen gx=-x2+3x+4.

         gx=0-x2+3x+4=0x=-3±32-4·-1·42·-1x=-3±25-2x=-1      x=4

Nullpunktene er x=-1 og x=4.

Symmetrilinjen er

x=-b2a=--32·-1=32=1,5

Vi ser at dette er x - verdien midt mellom -1 og 4.
Grafen har et toppunkt siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

1,5, g(1,5)=1,5, -1,52+3·1,5+4=1,5, (-2,25+4,5+4)=1,5, 6,25 

Eksempel. Ett nullpunkt

Gitt funksjonen hx=x2-4x+4.

Graf Vi løser likningen

      hx=0x2-4x+4=0         x=--4±-44-4·1·42         x=--4±02=2

Nullpunktet er x = 0

Vi får bare ett nullpunkt siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinjen  er gitt ved

x=-b2a=--42·1=42=2

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinjen.

Vi vet at h(2) =0. Bunnpunktet har koordinatene 2,h2=2,0

Eksempel. Ingen nullpunkterGraf

Gitt funksjonen kx=x2-4x+5.

Vi løser likningen

      kx=0x2-4x+5=0           x=--4±-42-4·1·52           x=--4±-42

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter og grafen til funksjonen krysser aldri x - aksen. 

Siden konstantleddet c=5, vet vi at grafen skjærer y - aksen i punktet 0,5. Dette punktet ligger over x - aksen. Grafen ligger da over x - aksen for alle verdier av x.

Vi finner symmetrilinjen ved

x=-b2a=--42=42=2

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt.
Bunnpunktet har koordinatene 2,k2=2, 22-4·2+5=2,1